Écritures en base 2, 10, 16

Comment utiliser cette page

Cette page suit toujours le même plan : le principe en une phrase, les étapes dans l'ordre exact, une démonstration interactive, le code Python, puis les points clés à retenir.

Utilisation de la démonstration

La démonstration avance uniquement quand vous cliquez sur « Suivant » ou « Précédent » : rien ne bouge tout seul. Un bouton « Lecture automatique » est disponible si vous préférez laisser les étapes défiler seules, à une vitesse que vous choisissez.

1. Vocabulaire à connaître avant de commencer

Chaque mot ci-dessous est utilisé exactement dans ce sens dans toute la page.

Mot	Définition précise
Base	Le nombre de chiffres différents utilisés pour écrire les nombres. Base 10 : chiffres de 0 à 9. Base 2 : chiffres 0 et 1. Base 16 : chiffres de 0 à 9 puis A, B, C, D, E, F.
Binaire (base 2)	Une écriture des nombres qui n'utilise que deux chiffres : 0 et 1. C'est la base utilisée en mémoire par les ordinateurs.
Hexadécimal (base 16)	Une écriture des nombres sur 16 chiffres (0 à 9, puis A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Souvent utilisée pour écrire des octets de façon plus courte que le binaire.
Bit	Un seul chiffre binaire (0 ou 1). C'est la plus petite unité d'information.
Octet	Un groupe de 8 bits. Un octet permet de représenter les entiers de 0 à 255.
Poids d'un chiffre	La valeur que représente un chiffre selon sa position : en base b, le chiffre à la position i (en partant de 0, à droite) vaut chiffre × bⁱ.
Quotient / reste	Dans une division entière a ÷ b, le quotient est le résultat entier, le reste est ce qu'il reste (toujours inférieur à b).

2. Le nombre d'exemple utilisé dans cette page

On utilise le nombre décimal N = 173 tout au long de cette page, pour le convertir en binaire puis en hexadécimal.

Résultat à retrouver

173 en base 10 s'écrit 10101101 en base 2 (binaire), et AD en base 16 (hexadécimal).

3. Conversion décimal → binaire

3.1 — Principe, en une phrase

Principe

Pour convertir un nombre décimal en binaire, on le divise plusieurs fois de suite par 2 : chaque reste (0 ou 1) est un chiffre binaire, et on les relit dans l'ordre inverse (du dernier au premier) pour obtenir le résultat.

3.2 — Les étapes, dans l'ordre exact

On divise le nombre par 2 : on obtient un quotient et un reste (0 ou 1).
On note le reste : ce sera un chiffre du résultat binaire.
On recommence la division, mais avec le quotient obtenu.
On répète les étapes 1 à 3 tant que le quotient n'est pas égal à 0.
Le résultat binaire s'obtient en lisant tous les restes trouvés, du dernier au premier (c'est-à-dire de bas en haut si on les a notés dans un tableau).

3.3 — Démonstration interactive

division en cours division terminée

Dividende	÷ 2	Quotient	Reste

Étape 1 / 1

Lecture automatique Vitesse :

La ligne de code correspondant à l'étape en cours est surlignée ci-dessous.

3.4 — Vérification : du binaire vers le décimal

Pour retrouver 173 à partir de 10101101, on additionne les poids des chiffres qui valent 1 (poids = 2^position, position comptée à partir de 0 en partant de la droite) :

Position	7	6	5	4	3	2	1	0
Poids (2^position)	128	64	32	16	8	4	2	1
Chiffre binaire	1	0	1	0	1	1	0	1

128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 173.

3.5 — Vérification : du binaire vers l'hexadécimal

Un chiffre hexadécimal correspond exactement à un groupe de 4 bits. On regroupe donc le binaire par paquets de 4, en partant de la droite :

Groupe de 4 bits	1010	1101
Valeur décimale du groupe	10	13
Chiffre hexadécimal	A	D

173 s'écrit donc AD en hexadécimal.

3.6 — Code Python

def decimal_vers_binaire(n):    """Convertit un entier positif n en chaîne binaire."""    if n == 0:        return "0"    chiffres = []    while n > 0:        chiffres.append(str(n % 2))        n = n // 2    chiffres.reverse()    return "".join(chiffres)# Jeu de données : le même exemple que la démonstration ci-dessusN = 173print(decimal_vers_binaire(N))# Résultat affiché : 10101101print(bin(N))    # 0b10101101 (Python ajoute toujours le préfixe 0b)print(hex(N))    # 0xad (Python ajoute toujours le préfixe 0x)print(int("10101101", 2))  # reconversion vers un entier : 173

3.7 — Points clés à retenir

Avec n bits, on peut représenter 2ⁿ valeurs différentes : de 0 à 2ⁿ - 1.
Un octet (8 bits) permet de représenter les entiers de 0 à 255 (2⁸ - 1).
Un chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits : deux chiffres hexadécimaux représentent donc exactement un octet.
En Python, bin(n) et hex(n) ajoutent toujours les préfixes 0b et 0x pour indiquer la base utilisée.

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